首先需要强调的是，搬家日期的选择不仅需要考虑家人的生肖，还需考虑农历、黄历、季节等因素。六月是夏季的开始，天气逐渐炎热，选择一个合适的日子搬家，可以避免因天气原因带来的不便。
根据农历和黄历的推算，六月的吉日有以下几个：
1. 农历六月初五：这一天黄历上宜动土、迁居，适合家庭搬迁。
2. 农历六月十五：是夏季的吉祥之日，寓意家中吉祥、安居乐业。
3. 农历六月廿一：这一日也被认为宜居家置业、添置财物。
针对您的家庭成员情况，我建议最好在属相对应的吉利日来选择，并尽量避免属相相冲的日子。例如，属牛的人在农历的牛年或与牛相合的年份中搬家更为吉利。而属猪和属兔的成员在相应的年份中也有其特定的吉日。
综合以上因素，我建议您在农历六月十五这一天进行搬家。这一天不仅适合搬家，还寓意家中吉祥、安居乐业，对于您的家庭来说是一个非常不错的选择。
在搬家当天，除了选择吉日外，还有一些注意事项：
1. 尽量避免与其他家庭的搬场日期冲突，以减少繁忙交通的压力。
2. 搬场前提前整理好需要搬迁的物品，分类装箱可以加快搬家的效率。
3. 在搬家的过程中注意保持心情愉快，尽量避免冲突和争吵。
4. 到达新家后及时进行清洁和整理，营造一个温馨舒适的生活环境。
最后提醒大家，虽然选择吉日可以带来心理上的安慰和满足感，但最重要的还是家人之间的团结和和谐相处。希望您的家庭在新居中安居乐业，生活美满幸福！